Analysis Beispiele

$\frac{x}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{\cos^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} d x$

Schritt 4.2

Separiere Brüche.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\int \frac{x}{1} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int x \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x) - \int \tan (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x) - (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$x \tan (x) - \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $x \tan (x) - \ln (| \sec (x) |) + C$