Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Dividiere unter Verwendung schriftlicher Polynomdivision.

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Schritt 1.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.1.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Schritt 1.2.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.2.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Schritt 1.2.3

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 1.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.6.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Dividiere $(A) (x^{2} + x + 1)$ durch $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.2.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x - 1)$ durch $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Schritt 1.2.7.5

Multipliziere $(B x + C) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Schritt 1.2.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Schritt 1.2.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.2.7.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.6.1.1

Bewege $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.2.7.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.2.7.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.2.7.6.3

Schreibe $- 1 (B x)$ als $- (B x)$ um.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 1.2.7.6.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Schritt 1.2.7.6.5

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 1.2.8.2

Bewege $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Schritt 1.2.8.3

Bewege $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 1.2.8.4

Bewege $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 1.3

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.3.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 1.3.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 1.3.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.3.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.4.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 1 B + C$ durch $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache $(1 - B) - 1 B + C$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Schritt 1.4.2.3

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 1 C$ durch $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Schritt 1.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.4.1

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Schritt 1.4.3

Stelle $1$ und $- B$ um.

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Schritt 1.4.4

Löse in $0 = 1 - 2 B + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.4.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 - 2 B + C = 0$ um.

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Schritt 1.4.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Schritt 1.4.4.2.2

Addiere $2 B$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Schritt 1.4.5

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- 1 + 2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.5.1

Ersetze alle $C$ in $0 = 1 - B - C$ durch $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.5.2.1

Vereinfache $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

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Schritt 1.4.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.5.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.5.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.4.5.2.1.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.5.2.1.2.2

Subtrahiere $2 B$ von $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6

Löse in $0 = - 3 B + 2$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.4.6.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 B + 2 = 0$ um.

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = - 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = - 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.4.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.7.1

Ersetze alle $B$ in $C = - 1 + 2 B$ durch $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.7.2.1

Vereinfache $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 1.4.7.2.1.1

Multipliziere $2 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 1.4.7.2.1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.7.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.2.1.5.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Schritt 1.4.7.3

Ersetze alle $B$ in $A = - B + 1$ durch $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.7.4.1

Vereinfache $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

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Schritt 1.4.7.4.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.7.4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.7.4.1.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.8

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Schritt 1.5

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.1.2

Kombinieren.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ heraus.

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Schritt 1.6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Schritt 1.6.3.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Schritt 1.6.3.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (x)$ heraus.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Schritt 1.6.3.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ heraus.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8.1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Schritt 8.1.6

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 x + 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$