Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x^{5} - 7$ . Dann ist $d u = 10 x^{4} d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x^{5} - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{5} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $10 x^{4}$ und $0$ .

$10 x^{4}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{5} - 7$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x^{5} - 7$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Schritt 5

Berechne $e^{u}$ bei $- 5$ und $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $e^{- 5}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $e^{- 7}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Bringe $e^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Schritt 6.4.2

Bringe $e^{- 7}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Dezimalform:

$0.00058260 \dots$

Schritt 8