Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- x^{- 1} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- x^{- 1} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- x^{- 1} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} x + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3} x + C$