Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 \sqrt{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (2 \sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}) (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ als $y + 1$ um.

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Schritt 1.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kombiniere $\sqrt{y + 1}$ und $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y + 1} (2 \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1.2.5.3

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1})}{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1} \cos (x)$

Schritt 1.2.5.6

Kombiniere $\frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ als $y + 1$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{1} \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Schritt 1.2.7.2

Dividiere $2 \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = 2 \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ durch $2$ .

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \sin (x) + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{1} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y + 1 = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ um.

$y + 1 = (\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = \sin (x) (\sin (x) + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 1 = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{K}{2}$ und $\sin (x)$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{\sin (x) K}{2}$ und $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Stelle $\sin (x)$ und $K$ um.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{K \sin (x)}{2}$ und $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + K$