Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{4}{7}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ und ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ aus ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $i$ und $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = \frac{7}{6}$

Schritt 3

Prüfe, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Da $| r | \geq 1$ , divergiert die Reihe.