Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$