Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int x e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 5

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 12

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Schritt 12.1

Schreibe $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Schritt 14

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$