Analysis Beispiele

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x - 1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2

Schreibe $- 1 x^{- 2}$ als $- x^{- 2}$ um.

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 8

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$