Analysis Beispiele

$\int (x^{3} - 3 x + e^{3 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int x^{3} - 3 x + e^{3 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Schritt 4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x d x + \int e^{3 x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{3 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$