Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

Schritt 3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $4 (x + 2)$ durch $1$ .

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.6

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 x' + 0$

Schritt 3.7

Addiere $4 x'$ und $0$ .

$4 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 4 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x' = 1$ um.

$4 x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x' = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x' = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$