Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ is concave down at $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 1$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 1.2.4

Vereinfache ${(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 1.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 6 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$y = 1 - 6 + 1$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$y = - 5 + 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 5$ und $1$ .

$y = - 4$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3 x^{2} - 12 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 12 \cdot 1$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$3 - 12$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$- 9$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 9$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 4) = - 9 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 9 \cdot (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 4 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = - 9 x - 9 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y + 4 = - 9 x + 9$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 9 x + 9 - 4$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$y = - 9 x + 5$

Schritt 4