Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 2
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 3
Schreibe als um.
Schritt 4
Schritt 4.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Schritt 4.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 4.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Schritt 4.1.2.1
Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.
Schritt 4.1.2.2
Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von im Nenner, was ist.
Schritt 4.1.2.3
Berechne den Grenzwert.
Schritt 4.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.1.2.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.1.2.3.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.3.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.2.3.1.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.2.3.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.1.2.3.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.1.2.3.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4.1.2.3.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.1.2.4
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 4.1.2.5
Berechne den Grenzwert.
Schritt 4.1.2.5.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.1.2.5.2
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4.1.2.5.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.1.2.6
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 4.1.2.7
Vereinfache die Lösung.
Schritt 4.1.2.7.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.1.2.7.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.7.1.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.7.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.1.2.7.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.7.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.7.3
Dividiere durch .
Schritt 4.1.2.7.4
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 4.1.3
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 4.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 4.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 4.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Schritt 4.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 4.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 4.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.3.3
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 4.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.5
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.3.6
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.3.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.3.9
Addiere und .
Schritt 4.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.11
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.3.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3.13
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.3.14
Addiere und .
Schritt 4.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.17
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.3.17.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.17.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.17.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.18
Vereinfache.
Schritt 4.3.18.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.3.18.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.3.18.2.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 4.3.18.2.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.18.2.1.2
Addiere und .
Schritt 4.3.18.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.18.2.3
Addiere und .
Schritt 4.3.18.3
Stelle die Terme um.
Schritt 4.3.19
Schreibe als um.
Schritt 4.3.20
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 4.3.20.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.3.20.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3.20.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.3.21
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.3.22
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.3.23
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3.24
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.25
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.3.26
Addiere und .
Schritt 4.3.27
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.28
Vereinfache.
Schritt 4.3.28.1
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.3.28.2
Vereine die Terme
Schritt 4.3.28.2.1
Kombiniere und .
Schritt 4.3.28.2.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5
Schritt 5.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6
Schritt 6.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 6.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Addiere und .
Schritt 7
Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von im Nenner.
Schritt 8
Schritt 8.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 8.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.3
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 8.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.5
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 8.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 8.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 9
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 10
Schritt 10.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 10.2
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 11
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 12
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 13
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 14
Schritt 14.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 14.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.1.2
Addiere und .
Schritt 14.1.3
Potenziere mit .
Schritt 14.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 14.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.3
Addiere und .
Schritt 14.2.4
Addiere und .
Schritt 14.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 14.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 14.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.3.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 15
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 16
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: