Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x^{2}}{4} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 6

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int \sqrt{x} d x + \int π d x$

Schritt 10

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int π d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int π d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + π x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + π x + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{12} - \frac{2}{3 x} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + π x + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$