Analysis Beispiele

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + y^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ durch $2 y - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ durch $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (4 x - y)$ als $- 1 (4 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$