Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 0}$

Schritt 1.3.8

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$