Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 1.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 1.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$1$