Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.4

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.8

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Schritt 3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Schritt 5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$10 + \sqrt{25 + 7}$

Schritt 5.3

Addiere $25$ und $7$ .

$10 + \sqrt{32}$

Schritt 5.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$10 + \sqrt{16 (2)}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$10 + 4 \sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$10 + 4 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$15.65685424 \dots$