Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 9.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$