Analysis Beispiele

$\int (6^{3 x^{2} - 3 x}) (6 x - 3) d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{2} - 3 x$ . Dann ist $d u = (6 x - 3) d x$ , folglich $\frac{1}{6 x - 3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{2} - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 x - 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 6^{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $6^{u}$ nach $u$ ist $\frac{6^{u}}{\ln (6)}$ .

$\frac{6^{u}}{\ln (6)} + C$

Schritt 3

Schreibe $\frac{6^{u}}{\ln (6)} + C$ als $\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{u} + C$ um.

$\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{u} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{1}{\ln (6)} \cdot 6^{3 x^{2} - 3 x} + C$