Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 12 x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{- 4} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 12.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 12.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 12.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 12.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 12.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$