Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 8 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 8 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 x + C$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ .

$F (x) =$ $x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$