Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - 3 x^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x - 3 x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C$

Schritt 8.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Schritt 8.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C$

Schritt 8.2.5.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$x^{2} - x^{3} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $x^{2} - x^{3} + C$