Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 4 x^{3}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 4 x^{3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{8 - 1}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{21}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.7.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.8

Potenziere $2$ mit $4$ .

$7 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 8.2.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.9.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$7 + 4 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 8.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$7 + 4 (4 - \frac{1}{4})$

Schritt 8.2.3.11

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 8.2.3.12

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 8.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 + 4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 8.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.14.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$7 + 4 \frac{16 - 1}{4}$

Schritt 8.2.3.14.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$7 + 4 (\frac{15}{4})$

Schritt 8.2.3.15

Kombiniere $4$ und $\frac{15}{4}$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Schritt 8.2.3.16

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$7 + \frac{60}{4}$

Schritt 8.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $4$ .

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Schritt 8.2.3.17.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Schritt 8.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 (1)}$

Schritt 8.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 + \frac{15}{1}$

Schritt 8.2.3.17.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$7 + 15$

Schritt 8.2.3.18

Addiere $7$ und $15$ .

$22$

Schritt 9