Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 7

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - 7 x d x$

Schritt 9

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{2} + C$

Schritt 11.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7 x^{2}}{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$