Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Um $- 2 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} - 2 x^{3} \cdot \frac{2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $- 2 x^{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{- 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 4 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3.5

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{- 3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - 3 x^{- 2} - \frac{3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - (\frac{3}{2} \int x^{3} d x) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$