Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d x}{d y}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $\frac{3}{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d x}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $\frac{x}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $\frac{3}{x y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $- \frac{x}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ mit $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - x^{2} + 3$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - x^{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ mit $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

Schritt 3.4.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ um.

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

Schritt 3.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ um.

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $| - x^{2} + 3 |$ durch $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Schritt 3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Schritt 3.7.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

Schritt 3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ als $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ um.

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

Schritt 3.7.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$