Analysis Beispiele

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (y) - y \sin (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y \sin (x)$ nach $y$ gleich $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + x \cos (y) - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $\cos (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x \cos (y)$ nach $x$ gleich $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $- \sin (x) + \cos (y)$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\cos (y) - \sin (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- \sin (x) + \cos (y)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

Schritt 5.3

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

Schritt 5.4

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\sin (y) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \cos (x)$ nach $y$ gleich $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x \cos (y)$ von $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $\cos (x) - y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$