Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{3 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{3 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 3}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 3}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{4 t^{2}}{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{4}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} \int t^{2} d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{4}{3} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ als $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{9} t^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{4}{9} t^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{4}{9} t^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $2 \frac{4 t^{3}}{9}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4 t^{3}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{2 (4 t^{3})}{9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{8 t^{3}}{9} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{8 t^{3}}{9} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{8 t^{3}}{9}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{4 t^{3}}{9} + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + K \cdot 9}{9}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + 9 K}{9}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{4 t^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 t^{3} + 9 K)}{9}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\frac{2 (4 t^{3} + 9 K)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $2 (4 t^{3} + 9 K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{9}}$

Schritt 3.4.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (4 t^{3} + 9 K))}$

Schritt 3.4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 9 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + K)}}{3}$