Analysis Beispiele

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 1$ für $x$ und $3$ für $f$ in $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ ersetzt wird.

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ um.

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3 + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 + 3$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $3$ .

$K = 6$

Schritt 5

Setze $6$ für $K$ in $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $6$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$