Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1)}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 2.2.1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Schritt 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.1.2

Dividiere $(A) (y - 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.1.7.5.2

Dividiere $(B) (y + 1)$ durch $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Schritt 2.2.1.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Schritt 2.2.1.1.8

Bewege $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $y$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.2.1.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.2.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.3

Löse in $1 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 2.2.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.4.2.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Schritt 2.2.1.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Sei $u_{2} = y - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Es sei $u_{2} = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.8.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.8.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.10

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.2.11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\ln (| y + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ mit $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Schritt 3.7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.7.2.1

Zerlege $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ durch Herausziehen von $2 C + \ln (| y + 1 |)$ aus dem Logarithmus.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Schritt 3.7.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Schritt 3.7.2.3

Mutltipliziere $2 C + \ln (| y + 1 |)$ mit $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Schritt 3.7.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Schritt 3.7.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Schritt 3.7.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

Schritt 3.7.6

Kombiniere $| y + 1 |$ und $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 3.7.7

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ um.

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Schritt 3.7.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.9

Schreibe $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

Schritt 3.7.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ um.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.2

Multipliziere beide Seiten mit $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Schritt 3.7.10.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| y - 1 |$ .

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Schritt 3.7.10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Schritt 3.7.10.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Schritt 3.7.10.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ um.

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

Schritt 3.7.10.4.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ durch $e^{- 2 C}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.10.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ durch $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Schritt 3.7.10.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Schritt 3.7.10.4.2.2.1.2

Dividiere $| y - 1 |$ durch $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Schritt 3.7.10.4.3

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Schritt 3.7.10.4.4

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Schritt 3.7.10.4.5

Löse $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.4.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.7.10.4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.4.5.2.1.1

Vereinfache $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.2.1.1.2

Schreibe $- 1 e^{- 2 C}$ als $- e^{- 2 C}$ um.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1

Vereinfache $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

Schritt 3.7.10.4.5.2.2.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

Schritt 3.7.10.4.5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.4.5.3.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.2

Addiere $e^{- 2 C}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ heraus.

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Schritt 3.7.10.4.5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C}$ heraus.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ heraus.

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.4

Schreibe $e^{- 2 C}$ als ${(e^{- C})}^{2}$ um.

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.7.10.4.5.3.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- C}$ und $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.6

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ durch $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.10.4.5.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ durch $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- C} + x$ .

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Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- C} - x$ .

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Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Schritt 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Schritt 3.7.10.4.6

Löse $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.4.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.2

Vereinfache.

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Schritt 3.7.10.4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.4.6.2.1.1

Vereinfache $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.2.1.1.2

Schreibe $- 1 e^{- 2 C}$ als $- e^{- 2 C}$ um.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1

Vereinfache $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 C}$ .

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Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ in den Zähler.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

Schritt 3.7.10.4.6.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

Schritt 3.7.10.4.6.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.1

Addiere $x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.2

Addiere $e^{- 2 C}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ heraus.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C}$ heraus.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ heraus.

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ durch $e^{- 2 C} + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ durch $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

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Schritt 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

Schreibe $e^{- 2 C}$ als ${(e^{- C})}^{2}$ um.

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

Stelle $- x^{2}$ und ${(e^{- C})}^{2}$ um.

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- C}$ und $b = x$ .

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 3.7.10.4.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$