Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$ , $y (0) = 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 2 x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} x^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $7$ für $y$ in $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ ersetzt wird.

$7 = \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 7$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0 + K = 7$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 7$

Schritt 5

Setze $7$ für $K$ in $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $7$ .

$y = \frac{1}{2} x^{4} + 7$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 7$