Analysis Beispiele

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{y}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.2.2

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\ln (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

Schritt 9.1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

Schritt 9.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

Schritt 9.1.1.3.2

Addiere $\frac{d g}{d x} - 2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$