Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d θ} = \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{θ}$ als $θ^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \int θ^{\frac{1}{2}} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $θ^{\frac{1}{2}}$ nach $θ$ gleich $\frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $\tan (θ)$ gleich $\sec^{2} (θ)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (θ)$ gleich $\tan (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (\tan (θ) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + K$