Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $7$ für $y$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ ersetzt wird.

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ um.

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{3}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Schritt 4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$6 + K = 7$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 7 - 6$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$