Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{3}{2 π}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\cos (π x)$ und $\frac{3}{2 π}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (π x)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$