Analysis Beispiele

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $e^{- 3 x} y$ heraus.

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $e^{- 3 x} y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Schritt 4.3.3.2

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- 3 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.3.4.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.3.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Schritt 5.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Schritt 5.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ als $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$