Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x - y$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + y = 4 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (4 x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 4 x e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 4 x e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 4 x e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int 4 x e^{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{x} y = 4 \int x e^{x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 7.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Schritt 8.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{4 x e^{x} - 4 e^{x} + C}{e^{x}}$