Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $x y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y^{2}, 2, 1$

Schritt 3.2.2

Da $2 y^{2}, 2, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 2, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{2}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.6

Das kgV von $2, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 3.2.7

Die Teiler von $y^{2}$ sind $y \cdot y$ , was $y$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $y^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y \cdot y$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2}$

Schritt 3.2.10

Das kgV von $2 y^{2}, 2, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 y^{2}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ mit $2 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ mit $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ um.

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 K y^{2}$ heraus.

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ heraus.

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ durch $x^{2} + 2 K$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ durch $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 K$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(2, 4)$ ist, betrachte nur $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ um $K$ zu finden. Ersetze $2$ für $x$ und $4$ für $y$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ um.

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ als ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

Schritt 6.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 + K, 1$

Schritt 6.4.1.2

Entferne die Klammern.

$4 + K, 1$

Schritt 6.4.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 + K$

Schritt 6.4.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{4 + K} = 16$ mit $4 + K$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{4 + K} = 16$ mit $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + K$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4 + K}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Schritt 6.4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 16 (4 + K)$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

Schritt 6.4.2.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

Schritt 6.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1

Schreibe die Gleichung als $64 + 16 K = - 1$ um.

$64 + 16 K = - 1$

Schritt 6.4.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.2.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 K = - 1 - 64$

Schritt 6.4.3.2.2

Subtrahiere $64$ von $- 1$ .

$16 K = - 65$

Schritt 6.4.3.3

Teile jeden Ausdruck in $16 K = - 65$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 K = - 65$ durch $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Schritt 6.4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Schritt 6.4.3.3.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

Schritt 6.4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{65}{16}$

Schritt 7

Setze $- \frac{65}{16}$ für $K$ in $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{65}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

Schritt 7.2.4

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ mit $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$