Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ , wenn $y (3) = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Schritt 3.5.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | x | e^{C}$ um.

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Schritt 3.5.4.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C | x | - 3$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x | - 3$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $3$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = C | x | - 3$ ersetzt wird.

$3 = C | 3 | - 3$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C | 3 | - 3 = 3$ um.

$C | 3 | - 3 = 3$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Schritt 6.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 C = 3 + 3$

Schritt 6.3.2

Addiere $3$ und $3$ .

$3 C = 6$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $3 C = 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 C = 6$ durch $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$C = 2$

Schritt 7

Setze $2$ für $C$ in $y = C | x | - 3$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $2$ .

$y = 2 | x | - 3$