Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

Schritt 3.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 7.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 7.4.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 7.4.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 7.4.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

Schritt 7.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 7.4.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Schritt 7.4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

Schritt 7.4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Schritt 7.4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

Schritt 7.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $\frac{2}{x^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{3}}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.4.2.1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.2

Stelle $- \frac{2}{x}$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$