Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $x (1 + y)$ .

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Schritt 1.1.1.1

Forme um.

$\frac{d y}{d x} - x y = 0 + 0 + x (1 + y)$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} - x y = x \cdot 1 + x y$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x y = x + x y$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x + x y + x y$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x + 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + 2 x y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + 2 x y$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (2 y)$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (2 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (1 + 2 y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + 2 y}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} (x (1 + 2 y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 + 2 y$ aus $x (1 + 2 y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 + 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 + 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 2.2.1.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + 2 y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ um.

$| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}{2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}{2}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}{2}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 1}{2}$