Analysis Beispiele

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x e^{- t} d x = t d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $e^{- t}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $e^{- t}$ aus dem Integral.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ als $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ um.

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $e^{- t}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Schritt 2.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{e^{- t}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ durch $\frac{1}{2} e^{- t}$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ durch $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.3

Multipliziere $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

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Schritt 3.1.3.1.3.1

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Schritt 3.1.3.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.7

Kombiniere $K$ und $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Schritt 3.1.3.1.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y t + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y t$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y t) + 2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ als $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ mit $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ mit $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.5.2

Potenziere $\sqrt{e^{- t}}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Schritt 3.3.5.3

Potenziere $\sqrt{e^{- t}}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Schritt 3.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Schritt 3.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ als $e^{- t}$ um.

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Schritt 3.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{- t}}$ als $e^{\frac{- t}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.5.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.5.6.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.5.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Schritt 3.3.5.6.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Schritt 3.3.5.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.5.6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 t$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Schritt 3.3.5.6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.5.6.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Schritt 3.3.5.6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 3.3.5.6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Schritt 3.3.5.6.6.2.4

Dividiere $- t$ durch $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Schritt 3.3.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Schritt 3.3.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$