Analysis Beispiele

$x y d y - (y^{2} + 3 x^{2}) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (y^{2} + 3 x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y^{2} + 3 x^{2})]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (y^{2} + 3 x^{2})$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 3 x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Schritt 2.5

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 y = y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x y$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y$ von $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 5.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Schritt 6.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (y^{2} + 3 x^{2})$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (y^{2} + 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- y^{2} - (3 x^{2})) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(- y^{2} - 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- y^{2} - 3 x^{2}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- y^{2} - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{- (y^{2}) - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (y^{2}) - (3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{- (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.8

Schreibe $- (y^{2} + 3 x^{2})$ als $- 1 (y^{2} + 3 x^{2})$ um.

$\frac{- 1 (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $x y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.11.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.11.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.12

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.11

Kombiniere $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.12

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 12.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Addiere $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3}{x} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{3}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{3}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 14.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (x) = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$g (x) = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 14.7

Vereinfache.

$g (x) = - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 16

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln ({| x |}^{3}) + C$