Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $\frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um $\frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y + 1) x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.1.2.1

Kombiniere $\frac{d y}{d x}$ und $\frac{(y + 1) x^{2}}{(y + 1) x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{(y + 1) x^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.2.2

Stelle die Faktoren von $(y + 1) x^{2}$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2})}{x^{2} (y + 1)} + \frac{{(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y + 1) x^{2}) + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot 1) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x}) x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.1.5

Stelle die Faktoren in $\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + {(x - 1)}^{2} y}{x^{2} (y + 1)}$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)} = 0$

Schritt 1.1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} + y {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Subtrahiere $y {(x - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} x^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} y x^{2} + \frac{d y}{d x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} x^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} y x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} = - y {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.3.2.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} x^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1 = - y {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.3.2.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} x^{2}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} y + \frac{d y}{d x} x^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ durch $x^{2} (y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1) = - y {(x - 1)}^{2}$ durch $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} x^{2} (y + 1)}{x^{2} (y + 1)} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y + 1)}{y + 1} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2} (y + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} (- \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{y}{y + 1}$ mit $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y + 1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $y + 1$ aus $- (y + 1)$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere $y + 1$ aus $(y + 1) x^{2}$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) (x^{2})}$

Schritt 1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{(y + 1) x^{2}}$

Schritt 1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y ({(x - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y {(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {u_{1}}^{2} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(u_{2} - 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 2.3.5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2}$ und ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.6.3

Bringe ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.6.4

Schreibe ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Schritt 2.3.8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.3

Bringe ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.8.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.8.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.8.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Schreibe ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ als $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)$ um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.8

Stelle ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ und $- 1$ um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.11

Addiere $1$ und $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.3.9.12.2

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.13

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.14

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

Schritt 2.3.9.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.16

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.18

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.19

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.22

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.23.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.23.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.24

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.27

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.28.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.28.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.29

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.30

Mutltipliziere ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.31

Subtrahiere ${u_{3}}^{- 1}$ von $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.9.32

Stelle ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ und $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 2.3.11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 2.3.12

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 2.3.13

Das Integral von ${u_{3}}^{- 1}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 2.3.14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Schritt 2.3.15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C_{6})$

Schritt 2.3.16

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.17.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18

Vereinfache.

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Schritt 2.3.18.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.3.18.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.1.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.1.4

Addiere $x$ und $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.1.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.3

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.2.4.2

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.18.4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (x^{2})$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - - \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = 1 \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.3

Mutltipliziere $\ln (x^{2})$ mit $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.18.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.18.4.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.5.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x}$ in den Zähler.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.4.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{- 1}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.18.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - - \frac{1}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.5.2

Multipliziere $- - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.3.18.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + 1 \frac{1}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.18.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{1}{x} + C_{7}$

Schritt 2.3.19

Stelle die Terme um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C_{7}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y + \ln (| y |) = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C$