Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (4 y^{- 2})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{- 2}} y^{- 2}$

Schritt 1.2.2

Bringe $y^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{2} y^{- 2}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 (y^{- 2} y^{2})$

Schritt 1.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2 + 2}$

Schritt 1.2.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{0}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $4 y^{0}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 4 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 4 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $y^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 4 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = 4 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (4 x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (4 x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (4 x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (4 x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y^{3} = 12 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{12 x + 3 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $12 x + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (4 x) + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (4 x + K)}$