Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

Schritt 1.3.4

Kombinieren.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln^{8} (y)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Schritt 1.3.6.2

Dividiere $7 (x)$ durch $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (y)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $9$ und $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

Schritt 3.3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

Schritt 3.3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ um.

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ heraus.

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $\frac{63 x^{2}}{2}$ heraus.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 K$ heraus.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Schritt 3.3.4.2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ heraus.

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

Schritt 3.3.4.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.4.2.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

Schritt 3.3.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

Schritt 3.3.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

Schritt 3.3.4.2.5

Kombiniere $9$ und $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

Schritt 3.3.4.2.6

Schreibe $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ als $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ um.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$