Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = e^{7 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{7 x}$

Schritt 2.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{7 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + 7 x}$

Schritt 2.2.2

Addiere $x$ und $7 x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{8 x}$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{8 x}$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{8 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{8 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{8 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int e^{8 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u = 8 x$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 6.1.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{8} d u$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$e^{x} y = \frac{1}{8} \int e^{u} d u$

Schritt 6.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{8} (e^{u} + C)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$e^{x} y = \frac{1}{8} e^{u} + C$

Schritt 6.6

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{8} e^{8 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{1}{8} e^{8 x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{1}{8} e^{8 x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{8} e^{8 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{8} e^{8 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} e^{8 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{8 x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $\frac{1}{8} e^{8 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{8} e^{7 x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{8} e^{7 x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{8} e^{7 x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{8} e^{7 x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{8} e^{7 x}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{8} e^{7 x} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{7 x}$ .

$y = \frac{e^{7 x}}{8} + \frac{C}{e^{x}}$