Analysis Beispiele

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Schritt 2.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 5 \ln (| t |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| t |}^{5}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} {| t |}^{5}$ um.

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm {| t |}^{5} C$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| t |}^{5}$