Analysis Beispiele

$(x - 4) \frac{d y}{d x} + y = 6 e^{x}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(x - 4) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = y$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x - 4) y' + y \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x - 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 4) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 4) y' + y (1 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 4) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(x - 4) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $1$ um.

$(x - 4) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x - 4) \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x - 4) y] = 6 e^{x}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 4) y] d x = \int 6 e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(x - 4) y = \int 6 e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$(x - 4) y = 6 \int e^{x} d x$

Schritt 5.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(x - 4) y = 6 (e^{x} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(x - 4) y = 6 e^{x} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(x - 4) y = 6 e^{x} + C$ durch $x - 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(x - 4) y = 6 e^{x} + C$ durch $x - 4$ .

$\frac{(x - 4) y}{x - 4} = \frac{6 e^{x}}{x - 4} + \frac{C}{x - 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) y}{x - 4} = \frac{6 e^{x}}{x - 4} + \frac{C}{x - 4}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 e^{x}}{x - 4} + \frac{C}{x - 4}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 e^{x} + C}{x - 4}$